点积 a·b = |a||b|cos θ，衡量两向量方向的「一致程度」。结果为 0 时两向量正交。
向量 a 在 b 上的投影，是 a 沿 b 方向的分量。投影长度 = (a·b) / |b|。
a = (3.00, 2.00)，|a| = 3.61
b = (2.00, -1.00)，|b| = 2.24
a · b = 4.00
夹角 θ ≈ 60.3°
proj_b(a) = (1.60, -0.80)
数学基础 · 第 1 章路径 1/8本章完成 0%向量矩阵可视化
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点积与投影
衡量相似度，分解向量分量
a 到投影的垂线
向量 a
向量 b
核心概念速查
- 向量：既有大小又有方向的量。
- 矩阵：线性变换的编码。
- 行列式：面积缩放因子。
- 点积：衡量方向相似程度。
学习建议
- 先理解几何图像，再记公式。
- 对比「矩阵」与「线性变换」章节中的同一变换。
- 尝试让行列式接近 0，观察空间坍缩。
线性代数检查点
学完演示后来检验一下。全部答对即可标记本章测验通过。
1. 神经网络中的权重矩阵，本质上在做什么？
2. 两个向量点积接近 0，几何上通常意味着？
3. 行列式接近 0 时，线性变换会怎样？
与 AI 的联系
- 权重矩阵：神经网络每一层的 W 都是矩阵，前向传播就是矩阵乘法。
- 嵌入向量：词、图像被映射到高维向量空间，相似语义距离更近。
- 注意力机制：Query 与 Key 的点积决定注意力权重。
- 降维与特征提取：PCA、SVD 等经典方法都建立在线性代数之上。